Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée

Le point de départ :

La traduction habituellement publiée : «Que ce soit un cube en deux cubes ou un carré de carré en carrés

de carré, et en général dans l’infinité, on ne peut partager une puissance supérieure à un carré en deux puissances du même nom.

J’ai une démonstration merveilleuse qui ne tient pas dans la marge».

La première phrase est la conjecture avancée par Fermat vers 1648. Mais la seconde phrase trop ‘francisée’ est une incroyable gasconnade en contradiction manifeste avec sa discrétion notoire et la dignité de sa Charge.

De plus, elle passe sous silence ce mot important «detexi» qui a deux sens en Latin, comme on va le voir.

Trois citations latines sont proposées aux amateurs :
- la première vue dans Wikipédia en français (Edition de l'ARITHMETICA de 1621. La page 85 contient le problème ) cite «Cubum autem ... etc, qui à l’évidence signifie le mot Cube.
- la seconde, que montre Wikipédia en anglais (dans une représentation de l'édition de 1670 de l’ARITHMETICA, ) cite «CVbum autem ... etc,
- enfin la troisième que l'on peut trouver dans le livre de Simon Singh qui, lui, cite (page 81) : «Cubem autem ... etc.

Ce premier mot écrit de 3 manières différentes a attiré mon attention. J’ai choisi d'étudier la seconde citation, visible dans la photo de la page 61de l’ARITHMETICA, réédition supervisée par le fils de Fermat 5 ans après la disparition de son père.

I – TRADUCTION.

II – Le CODE était bien de nature typographique

III – Le CODE pour calculer les coefficients

IV – L’IDEE de FERMAT

V – La PREUVE de FERMAT par l’ARITHMETIQUE

VI - CONCLUSION

J’ai donc rouvert mon vieux Dict. Latin-Français BORNECQUE et CAUËT écorné dans mon enfance.

Voici ce qu’il dit.

I – TRADUCTION .

1/- La première phrase : Elle commence par la conjecture de Fermat. Seule, la fin nous intéresse :

- «cuius rei») = ce dont, d’après quoi, selon quoi, , ….annonce ce qui découle des mots précédents.

- «demonstrationem mirabilem» à l’accusatif = l’explication surprenante, la preuve ou la démonstration étonnante, provient de «mirari» = s’étonner. (et rarement, merveilleux = «mirificus», ni admirable = «admirabilis» ).

- «sane» adv. = sainement. Mais suivi d’un complément (ici de detexi) = entièrement, complètement, tout à fait.

Mais voici le plus intéressant :

- Le verbe «texi» 1° personne du parfait de l’indicatif actif du verbe tegere, -o, -is, texi, tectum = couvrir, cacher, donc detexi = j’ai mis au jour, j’ai rendu visible (qlq chose). Mais «detexi» est aussi l’infinitif passif du verbe «detexere , detexui, detextum» = être tissé, être tressé, entrelacé,…se disait des ouvrages dont les matériaux sont construits comme les fils d’un tissu. Se traduit le plus souvent par construire complètement, achever , en évoquant … un tissu.

Alors Fermat avait-il songé à ce double sens ? Si la preuve nous en était donnée par lui-même (et nous verrons qu’elle l’est, mais seulement dans l’ARITHMETICA, et pas dans nos livres !), cela ne pourrait plus être caché aux lecteurs, ni aux mathématiciens. Il suffirait de le leur indiquer entre parenthèses, comme par exemple et

mot à mot :

Ce verbe «detexi», essentiel dans l’esprit de la note, n’a jamais été signalé aux mathématiciens (… ?). 

2/- La deuxième phrase : 

- Hanc (pronom relatif, à l’accusatif féminin mis pour démonstrationem = une telle explication, telle qu’elle est, dans l’état où elle est … exclut toute idée de mouvement.

- marginis (génitif) = 1. de la bordure, de la limite, 2. d’une frontière, 3. d’une marge (mais pas, dans un tissu !)

- exiguitas de exiguus, (rarement exigu, ni étroit = angulus) = 1, la petitesse, la pauvreté, la faiblesse, la médiocrité, l’insuffisance (de qlq chose). 2, la brièveté (du temps). 3, un petit (nombre), une petite (lettre)… etc. Désigne en général… un manque.

- caperet subj. de capere , -io, -is, (au propre et au fig., trad. très variées) = 1, Contenir, ou prendre (qlq chose) 2, Concevoir (dans l’esprit). 3, S’emparer de. 4, Choisir. 5, Obtenir. 6, Séduire. 7, Gagner (un lieu). 8, Etre capable de. 9, Etre atteint de… etc. Donc, «non caperet» = ne contiendrait pas.

Fermat avait donc deux idées !

1 - Celle d’être ledit ‘Prince des amateurs’ ; un ‘vantard’ aux yeux d’un traducteur partial. Mot à mot :

2 - Celle de ‘suggérer’ comme un tisserand, une élégante métaphore de sa preuve mathématique. Mot à mot :

« Mais que ce soit un cube en 2 cubes ou bien un carré de carré en 2 carrés de carré et en général dans l’infinité, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante. Le manque de la bordure ne la contiendrait pas.».

On peut donc remarquer que :

1 - Cette inutile galéjade : «J’ai une démonstration merveilleuse qui ne tient pas dans la marge.» ne pouvait être ignorée de l’expert en latin qu’était Fermat. De fait, le Juge (!) rappelle les futurs traducteurs à leur devoir d’impartialité envers sa note ; ne cacher aucun sens au lecteur, afin qu’il en décide lui-même.

2 - Fermat nous invite à imaginer un mode de tissage «tout à fait insuffisant en bordure du tissu», mais dont la construction est aussi «tout à fait visible» dans le texte. Il faut donc y rechercher l’existence probable d’un ‘code’ bien visible … d’association des lettres entre elles. Nous verrons pourquoi il s’agit des lettres (u) et (t).

3 - Et s’il suggère sa preuve avec élégance, nous songerons aussi à ‘la minuscule’ en bordure du texte : «non capere t» = ne pas contenir l’ultime minuscule t. Et nous verrons que la 1^ère minuscule (u) ne convient pas.

4 - Au sens arithmétique, ce texte de Fermat fait allusion à une «faiblesse numérique, en limite d’une ‘certaine’ expression mathématique.». (Je ne cherche pas déjà à démontrer ‘le fermat’, mais toujours l’esprit du code).

Donc, pour découvrir le code de Fermat, il faut examiner la page 61 de l’ARITHMETICA (la réédition de 1670) dans laquelle son fils veilla à ce que les détails de la note fussent tous rigoureusement reproduits par le typographe de l’époque, son père écrivant que sa démonstration était entièrement visible. Ainsi prévenu, j’en conclus :

INDICATION 1 de la traduction seule :

II – Le CODE était bien de nature typographique.

Pour savoir ce que Fermat lui-même écrivit, il faut absolument télécharger son texte, page 61 de l’ARITHMETICA, l’édition de 1670. (cf. Google et Wikipédia. Taper Diophantus-II-8-Fermat.jpg ). On lit :

Règle : Dans l’ARITHMETICA, le 1° mot d’un nouveau paragraphe a toujours l’aspect mathématique d’une lettre ‘élevée à une puissance’, comme : N ^EXPOSANT en majuscules droites et strictement. Il en est toujours ainsi au début de chaque paragraphe, qu’il soit écrit en Latin ou en Grec.

On voit que ce 1° mot C^Vbum fait exception. En effet, en Latin le u minuscule s’écrit V en majuscule. Le typographe devait donc écrire C^VBVM, et non pas C^Vbum. La violation de cette règle était donc volontaire.

L’idée de Fermat : Tirer parti de cette ‘Règle’ «bien visible», pour attirer l’attention sur tous les u. Il faut donc accepter d’entrer dans son ‘jeu de lettres’, pour comprendre ce qu’il entendait par «démonstration inhabituelle, ou surprenante» (et pas, merveilleuse, ni admirable !).

Il y a en effet beaucoup de ‘choses étranges’ dans ce texte … très allusif. Par exemple :

Le sujet du texte est nominis = nom (des puissances > 2). C’est le 21^ème mot de ce texte. (C^h n’est pas un mot)

Or,

1 - La lettre u est la 21^ème lettre de l’Alphabet, alors que t en est la 20^ème.

Je compte donc toutes les lettres (u) et (t), ligne après ligne : 21 lettres u ; voilà qui est «mirabile» !.

Et parce que l’abréviation = et , n’est «visiblement» pas un mot (et), il n’y a que 19 lettres t.

En jouant avec les mots et les lettres, Fermat montre que son codage alphabétique exclut une lettre t. Ce qu’il confirme par non caperet , si l’on veut bien lire : non capere t = ne pas contenir t. Notons aussi que ce t  est le dernier mot du texte ; celui de sa limite = «marginis» ; Fermat ‘joue’ avec les lettres.

Il me fallut d’abord confirmer tout cela, avant d’essayer d’y mettre un peu d’ordre. Voici comment :

2 - Eclaircissons l’image.(cliquer dessus avec le bouton de droite, puis cliquer sur ‘Afficher la barre d’outils Image’).

On voit alors que « detexi .» et son point ont été surchargés volontairement. Or, detexi a deux sens en Latin. detexi provient de detegere = découvrir (sa tête), au sens propre : rendre qlq chose visible. Mais,

detexi est aussi l’infinitif passif de detexere = être tissé, se traduit par construire, achever complètement un tissu. Nous verrons d’ailleurs que si l’on ne l’achève pas complètement, l’on ne peut pas voir sa preuve.

Le point (.) trop marqué, montre que Fermat avait tenu à rappeler ces 2 sens de la racine « texi.». Le typographe ayant reproduit en 1670 tous les détails visibles dans l’édition qu’avait eue Fermat (avant 1670).

3 - C^Vbum = cubum = cube (u en majuscule s’écrivant V). Or, dans l’ARITHMETICA, chaque 1° mot d’un nouveau paragraphe doit être écrit en majuscules. Le typographe aurait donc dû écrire C^VBVM, mais le fils de Fermat voulut voir tous les détails manuscrits, puisqu’il est dit qu’ils sont «entièrement visibles».

Or : «vltra» et «diuidere» n’existent pas dans le Dictionnaire, mais « ultra» et «dividere». Cela fait toujours 21 u en minuscules italiques. Ainsi Fermat montre que les lettres u et v peuvent se remplacer mutuellement dans n’importe quel mot de l’ARITHMETICA, sauf dans le premier mot ; l’^EXPOSANT.

4 - Je compte donc toutes les minuscules u (21^ème lettre de l’Alphabet), puisqu’il n’y a qu’une minuscule v.

CVbu¹m au²tem in du³os cu⁴bos, au⁵t qu⁶adratoqu⁷adratu⁸m in du⁹os qu¹⁰adratoqu¹¹adratos

C^h generaliter nu¹²llam in infinitu¹³m vltra qu¹⁴adratu¹⁵m potestatem in du¹⁶os eiu¹⁷sdem

nominis (21^ème mot) fas est diu¹⁸idere cu¹⁹iu²⁰s rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exigu²¹ itas non caperet. Curieusement, il y a justement 21 lettres u

5 - Ce sigleressemble aussi à C^h tel qu’il pouvait être écrit à la plume, comme detexi. Ici, ce n’est

plus du Latin, mais une image qui rappelle mathématiquement celle de C^Vbum. Soit alors C^h = A^h +B^h :

«C^h en général dans l’infinité, aucune puissance….» désigne h (en minuscule) 8^ème lettre de l’Alphabet :

C⁸ = [ (C²)² ]² sont «des carrés de carré» dont Fermat affirme qu’il n’y a aucune solution pour n > 2.

C⁴ = [ (C²) ]² est «un carré de carré» dont Fermat a prouvé qu’il n’y a aucune solution pour n = 4.

Tenant compte de cette Règle de l’ARITHMETICA, nous verrons ce que la puissance h exige, lorsqu’elle

vaut 2 … dans un exemple que Fermat encode dans ce texte, après avoir conjecturé. voir (8 -).

6 - La note ne montre que 19 fois la lettre t (au lieu de 20). Car n’est «visiblement» pas le mot ‘et’.

CVbum aut¹em in duos cubos , aut²quadrat³oquadrat⁴um in duos quadrat⁵oquadrat⁶os

C^h generalit⁷er nullam in infinit⁸um vlt⁹ra quadrat¹⁰um pot¹¹est¹²at¹³em in duos eiusdem

nominis fas est¹⁴ diuidere cuius rei demonst¹⁵rat¹⁶ionem mirabilem sane det¹⁷exi.

Hanc marginis exiguit¹⁸as non caperet¹⁹.

7 - Le hasard ne sachant faire tout cela sans l’aide d’un expert, ces lettres u, t auraient donc un intérêt. De plus, dans l’ARITHMETICA la conjonction vt = comme, de sorte que, s’écrit aussi «ut».(Voir QUÆSTIO VIII).

Alors, je repère ces couples de lettres. Il y a 3 couples dans l’ordre (tu), et 2 couples dans l’ordre (ut) :

CVbum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos

C^h generaliter nullam in infinitum vltra quadratum … ensuite, il n’y a plus d’autre couple.

On voit que la conjecture est comprise entre ces 2 mots encadrés de «C^Vbum » à «diuidere », alors que la suite «cuius ….. non capere t» est un exemple de l’égalité (u+t)² = u² + t² + 2tu, à la seule la puissance 2.

L’exemple montre ainsi qu’il n’a de solution que si la dernière lettre du texte (t) exclue. Donc, avis !

9 - D’après (4 -), l’égalité C^H = u^H + t^H a des solutions pour 2 = H en majuscule exigée par le point (.) lui aussi surchargé. Mais Fermat montre ici que, même si H = 2, les solutions de l’égalité C² = u² + t² exigent aussi d’exclure la lettre (t) située ‘à la fin’ de sa note’. Mathématiquement parlant cela suggère que, pour voir sa preuve, le coeff a situé ‘à la fin’ du Tableau de Pascal doit, à tout le moins, être bien étudié.

10 – La longueur de la note de Fermat ne pouvant illustrer que très peu de produits : uⁱ.t^n-i suggère donc que son idée se tient dans les ‘triangles’ dits de Pascal où C^h = (u + t)^h exige les produits u^h-i t ⁱ et t^h-i u ⁱ.
Or, seuls les coeff a = 1 des termes 1.t^h (et 1u^h) sont «en limite» de ces triangles. Par suite, s’il fallait que le produit 1.t^h fût ‘exclu’ pour démontrer sa conjecture (bien que le nombre t^h ne soit jamais nul), ce serait son propre coeff. = 1 qui en serait la cause unique. Les indications de sa note conduisaient à ces questions :

- Si H > 2, C^H = (a₀ = u) A^H + (a_n = t) B^H n’aurait-elle de solution que ssi l’un de ces deux coeff a est nul ?

- La preuve de Fermat serait-elle «entièrement visible» en développant tous les coeff.a de :
Zⁿ = (z’+z’’)ⁿ où Z = z’ + z’’ dans les ‘triangles’ de Pascal pour tout n entier ?

- La preuve de Fermat proviendrait-elle du dernier coeff unitaire situé «en limite», parce que l’on ne l’obtiendrait pas comme s’obtiennent les autres coeff a qui sont «entrelacés comme les fils d’un tissu» ?.

Ces questions qui découlent de (9 -) qui découle de (8 -) mettraient donc en cause la construction du tableau de Pascal, puisque le texte en suggère une autre ; un mode de tissage !.

Il fallait donc chercher pourquoi le mode de calcul de Pascal «contient» un dernier coeff a = 1 = la dernière lettre t de la note … alors que Fermat dit qu’il ne le faut pas. Cela devenait très très intéressant !

INDICATION 2, du code seul :

III – LE CODE : Calculer les coeff. a _{(n, i)} , oui, mais … en diagonale.

La note est «visiblement» encodée par Fermat. (Il ‘aurait travaillé’ pour le Bureau du Chiffre, sous Mazarin.).

NB : Ne compter ces lettres (t) et (u) que dans la note en Latin (et pas dans sa traduction en Français ou en Anglais).

Regroupons les 10 remarques précédentes :

Or, le sujet du texte est «nominis» = patronyme, le nom des exposants entiers supérieurs à 2. Et, c’est le 21^ème mot de ce texte, dans lequel figure 21 fois la lettre (u) qui est la 21^ème lettre de l’alphabet.

On a vu qu’il manque 1 lettre (t) qui est la 20^ème lettre de l’alphabet. Et nous avons vu que :

- Il y a 5 couples de lettres «sane detexi» de detegere = tout à fait visibles : 3 couples (tu), 2 couples (ut),

Si Fermat avait «complètement enchevêtré deux fils rouges et bleus pour construire un tissu, on voit comment les ‘points d’arrêt (pour chaque puissance n) sont entrelacés … en bordure («marginis»), avec 3 (t,u) et 2 (u, t) :

Mais pour que cette surface ressemble à un triangle-rectangle (car il s’agit bien dudit ‘triangle’ de Pascal), il faut que le fil (t) qui se trouve en limite à droite ne provienne de nulle part (?), c’est le constat auquel conduit «detexui.» au parfait.

INDICATION 3 :

IV – L’IDEE de FERMAT

L’idée de Fermat, qui doit être pour tout exposant entier > 2 était donc de «construire» des suites partant de 0, comme : (0, 1, 2), ou (0, 1, 2, 3), ou (0, 1, 2, 3, 4), … etc, de forme générale :

Or, la méthode de Pascal n’est une addition que de 2 termes : elle ne fait intervenir que la puissance (n-1). Ce n’est donc pas l’idée de Fermat qui avait sa propre méthode pour trouver ces mêmes coeff. a_{(n, i)} de (u+t)ⁿ .

Les deux coeff a = 1, de 1.u⁰tⁿ ou de 1.t⁰uⁿ pouvant (l’un des deux) être ce «petit nombre de la limite», j’en déduis que l’essentiel de son explication tient en ce qu’elle «ne saurait contenir» à la fois uⁿ et tⁿ, et que c’est sur ce point précis que je devais porter mon attention, puisque la conjecture n’exige que leur somme.

Alors puisque ce sont deux entiers variant avec n, posons par ex : 1 < z’ < z’’ < (z’ + z’’) quelconques = Z.

Et, indépendamment de Z, posons aussi : 1 < t’ < t’’ < (t’ + t’’) ‘quelconques’ = T.

La méthode de Fermat est donc une somme en diagonale, ex : faisant intervenir toutes les puissances
(0, 1, 2, .., n-2, n-1, n). En incrémentant les valeurs de j, on retrouve les a_{(n, i)}.

Alors comparons les deux méthodes :

NB 1 : La méthode de Pascal découle de celle de Fermat, il suffit d’effectuer la somme donnant le coeff a_{(n-1, i-1)} puis d’ajouter le coeff a_{(n-1, i)} à sa droite. On obtient les mêmes coeff a_{(n, i)} mais aussi les coeff a_{(n, n)} = ces 1? C’est pourquoi, la méthode de Pascal a toujours masqué … la preuve de Fermat.

V – La PREUVE de FERMAT par l’ARITHMETIQUE

Soient donc 2 entiers non nuls z’ et z’’ tels que z’ + z’’ = Z entier, et les coeff.a de : (z’+z’’)ⁿ = Zⁿ

NB 2 : Il ne peut donc pas y avoir de solution à : Zⁿ = z’ⁿ + z’’ⁿ pour n > 1. Seulement pour n = 1.

Observons le tableau Fig 2 :

Fermat ayant démontré sa conjecture pour n = 3 (par sa descente indéfinie), les cases bleues peuvent être ignorées du raisonnement qui suit. Seules les cases vertes « contiennent l’explication » qu’indique sa note. La limite dont il parle est donc la leur. (elle exclut les 1?, comme l’était la lettre (t) à la fin de sa note.)

NB 3 : Le développement du binôme, soit : Zⁿ = (z’+z’’)ⁿ = S_i=0ⁱ⁼ⁿ a_{(n, i)} z’ⁱz’’^n-I inclut tous les coeff a_{(n, i)} indépendants de z’ et z’’ quelconques. Notons qu’il y en a toujours (n+1) dans cette somme, et pas n.

Ce tableau étant unique, extrayons les coeff. a = 1 et n , puisque sa démonstration «ne contient pas les nombres (1?) hors limite» et qu’elle ne concerne que n. Ce binôme de Zⁿ peut s’écrire dans ce cas :

L’idée de Fermat : « Puisque Zⁿ = z’ⁿ + z’’ⁿ ne peut avoir de solution que pour n = 1, alors essayon de substituer un autre binôme ¹ 0, par ex. Tⁿ = (t’ + t’’)ⁿ, à cette somme (z’ⁿ + z’’ⁿ) pour voir si «l’on peut oui ou non partager Tⁿ en (z’ⁿ + z’’ⁿ) ¹ 0», mais seulement pour n > 3, d’après cette

(En effet, si l’on arrêtait le développement à : donc pour n ≥ 2, on ne verrait pas ces 2 coefficients a _{(n, 1)} et a _{(n, n-1)} pour la puissance n concernée et qu’elle seule définit.).

Comparer Tⁿ ¹ 0 à cette somme (z’ⁿ + z’’ⁿ) dans laquelle (z’+z’’) ne peut égaler T, exige donc 3 cas :

- Les 2 cas : Tⁿ > ou < (z’ⁿ + z’’ⁿ) ¹ 0. Alors : Tⁿ = z’ⁿ + z’’ⁿ est évidemment sans solution, passons.

- Il reste ce 3° cas, où : Tⁿ = (z’ⁿ + z’’ⁿ) ¹ 0 est l’égalité (E) à tester pour n > 3, «en limite» cette

NB  :

VI - Conclusion : C’est comme un Devoir de Mémoire dû à un illustre français.

Depuis plus de 3 siècles, les avis les plus compétents sont partagés : «On doute que Fermat savait démontrer ce qu’il avançait». Mais l’on pouvait, une loupe à la main, lire l’ARITHMETICA accompagné d’un typographe et d’un P^r de Latin pour expertiser cette nouvelle traduction.

C’est pourquoi je me permets, bien modestement, de poser cette question qui me semble logique … et à toutes les époques ! :

- Si la réponse était Oui, les livres diraient que : «Fermat savait démontrer simplement ce qu’il avançait».

- Si la réponse était Non, merci pour un corrigé n’utilisant que les ‘outils’ mathématiques du XVII siècle.

Les mathématiciens sauraient alors démontrer que Fermat s'est dupé lui-même, comme l'a déclaré le Professeur A. Wiles. Mais l’on ne douterait plus.

Merci de bien vouloir, dès que possible, me faire l’honneur d’un avis, d’un corrigé.

Bien sincèrement et très respectueusement,

Roland FRANQUART

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